Sequências: regularidades e irregularidades

Quando se tem uma sequência (de números, por exemplo), é frequente que se detetem nela regularidades. Por exemplo, a sequência 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, ..., é formada pelos números 1², 2², 3², … Será que isto continua assim indefinidamente? No caso da sequência 4, 6, 8, 10, 12, ..., é fácil ver que cada um dos primeiros termos se pode escrever como soma de dois números primos. Será que isto é sempre verdade? Existe um método de demonstrar que certas regularidades são sempre válidas, que se chama indução matemática. Vai ser visto como é que se usa. E também vai ser visto que é preciso cuidado para não fazer generalizações apressadas; não é porque uma regularidade acontece em muitos casos que podemos concluir que acontece sempre.